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Lehrende: Dr. Franziska Schroeter
Veranstaltungsart:
Vorlesung
Anzeige im Stundenplan:
WP-ZaTh-V
Semesterwochenstunden:
4
Unterrichtssprache:
Deutsch
Min. | Max. Teilnehmerzahl:
10 | -
Kommentare/ Inhalte:
Thema:
Die Vorlesung bietet eine Übersicht über Fragestellungen, die der Nicht-Mathematiker häufig zuerst mit Mathematik verknüpft und eine Einführung in eins der ältesten und spannendsten Gebiete der Mathematik. Es geht um Eigenschaften und Strukturen der ganzen Zahlen, für deren Charakterisierung man Primzahlen zu Hilfe nimmt. Fragen wie
- Wie viele Primzahlen gibt es?
- Kann jede natürliche Zahl als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden?
- Wie viele Primzahlen liegen zwischen zwei natürlichen Zahlen a und b?
scheinen auf den ersten Blick einfach und leicht zu verstehen zu sein, entpuppen sich dann doch als relativ schwierig. Häufig stellt sich heraus, dass zuerst die Entwicklung eines großen technischen Apparats notwendig ist, um solche Fragen zu beantworten. Daher gibt die Vorlesung auch eine erste Einführung in die Algebra, um die einige der elementarsten Werkzeuge für die Beantwortung der Fragestellungen zur Verfügung zu stellen (daher auch der Name „Elementare Zahlentheorie“).
Wir werden uns aber nicht nur mit Primzahlen beschäftigen, sondern auch „moderne“ Konzepte wie Zetafunktionen, Möbiustransformationen und Verschlüsselungsverfahren kennenlernen, die es erlauben, Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik wie (Algebraischer) Geometrie, Funktionentheorie und Topologie zu schlagen bzw. aktuelle Forschungsfragen der Zahlentheorie zu verstehen.
Voraussetzungen:
Voraussetzung für die Teilnahme an der Vorlesung sind Kenntnisse aus den Grundvorlesungen, insbesondere ist der erfolgreiche Abschluss des Moduls „Lineare Algebra und analytische Geometrie“ gefordert.
Inhalt (laut Modulhandbuch):
- Rechnen mit Kongruenzen (chinesischer Restsatz, kleiner Fermatscher Satz, Anwendung auf asymmetrische Verschlüsselung)
- Quadratische Reste (Legendre-Symbol, quadratisches Reziprozitätsgesetz)
- Eigenschaften des Rings der ganzen Zahlen (Einheitssatz, Rechnen mit Idealen, Idealklassen)
- Anwendung auf diophantische Probleme
Lernziel:
(laut Modulhandbuch)
- Einblick in die grundlegenden Prinzipien der modernen Zahlentheorie
- Beherrschung einfacher Konzepte und Techniken aus dem Gebiet
Literatur:
Es wird kein Skript zur Vorlesung geben. Ich werde mich auch nicht streng an ein Buch halten. Am ehsten folgen werde ich
- Armin Leutbecher, Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra (Springer-Lehrbuch), 1996,
obwohl das Buch weit mehr Stoff enthält als ich jemals in der Vorlesung behandeln kann.
Weitere Standardwerke zum Thema sind
- Jürgen Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra (Vieweg+Teubner), 2011, *,
- Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie (Springer), 2008, *,
wobei das Sternchen * jeweils andeutet, dass das Buch als e-book (Springer-Link) aus dem Universitätsnetz herunterladbar ist.
Speziell für die Lehrämtler unter Ihnen empfiehlt sich noch
- Kristina Reiss und Gerald Schmieder, Basiswissen Zahlentheorie (Springer), 2007, *,
wobei durch das Buch nicht der gesamte Stoff der Vorlesung abgedeckt wird.
Falls Sie über den Tellerrand hinausgucken wollen, schauen Sie einmal in
- Alexander Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie (Springer), 2007, *.
(Das Buch ist gut lesbar, da es deutlich weniger Technik verwendet als gleichnamige Lehrbücher.)
Speziellere Literaturhinweise gibt es in der Vorlesung selbst.
Modulkürzel:
Ma-WP2
Zusätzliche Hinweise zu Prüfungen:
Die Modulabschlußprüfung findet in Form einer schriftlichen Prüfung am Ende des Semester bzw. am Ende der vorlesungsfreien Zeit im Anschluß an das Wintersemester statt. Die Termine hierfür sind
Fr, 5.2.2016, 14-16 Uhr, im H1 (Geomatikum) und/oder
Mi, 30.3.2016, 10-12 Uhr, im H1 (Geomatikum).
Voraussetzung für die Teilnahme an der Prüfung ist die aktive Teilnahme an den Übungen. Hinreichend hierfür sind die regelmäßige physische Teilnahme an den Übungen, 50% der Punkte auf den Übungsblättern und das Vorrechnen von Aufgaben auf Nachfrage des Übungsleiters hin in der Übung.
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