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Lehrende: Prof. Dr. Julian Holstein
Veranstaltungsart:
Proseminar
Anzeige im Stundenplan:
LAGS-Prosem
Semesterwochenstunden:
2
Unterrichtssprache:
Deutsch
Min. | Max. Teilnehmerzahl:
5 | 24
Weitere Informationen:
1 Mathematik und Alltag
Mathematische Konzepte spielen eine immer größere Rolle in unserem Alltag und in diesem Seminar wollen wir uns mit ein paar Themen beschäftigen, die helfen, die Welt um uns herum besser mathematisch zu verstehen. Die zwei hauptsächlichen Ideen sind exponentielles Wachstum, das von Zinseszinsen bis zur Corona-Pandemie allgegenwärtig ist, und der Satz von Bayes, der es uns erlaubt mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu rechnen und von medizinischen Diagnosen bis zur Strafverfolgung viele Fehlschlusse zu vermeiden.
2 Leitfaden
Sie sollen sich eines der vorgeschlagenen Themen aussuchen und gründlich bearbeiten. Je nach Teilnehmerzahl arbeiten Sie zusammen mit einem Partner/einer Partnerin oder alleine.
Erstellen Sie zuerst gemeinsam eine schriftliche Ausarbeitung (ugf. 5 Seiten am Computer), die Sie mir 3 Wochen vor Vortragstermin schicken. (Für den ersten und zweiten Vortrag verkürzt sich die Vorlaufzeit auf eine bzw. zwei Wochen.)
Anschließend werde ich Ihnen in einem Gespräch Feedback geben und mir Ihren ungefähren Plan fürs Seminar anhören. Dann geben Sie Ihren Vortrag, bei dem beide Teilnehmer ähnliche Redeanteile haben sollten.
Der Vortrag und die Ausarbeitung müssen nicht deckungsgleich sein. Nach dem Seminar überarbeiten Sie ihre Ausarbeitung und reichen Sie ein (die Hausarbeit ist die offizielle Studienleistung, aber ich nehme die Hausarbeit erst an, nachdem Sie Ihren Vortrag gehalten haben). Die endgültige Ausarbeitung stelle ich dann auf Moodle den anderen Studierenden zur Verfügung.
Das Seminar stellt zwei Anforderungen an Sie: Aneignung von neuem mathematischem Wissen, und Vermittlung an Ihre Kommilitonen.
Für Ihren Vortrag lasse ich Ihnen die Wahl der Mittel. Sie können an der Tafel vortragen, aber ich freue mich sehr, wenn Sie didaktisch kreativ werden, andere Hilfsmittel verwenden oder interaktive Elemente einbinden. Wenn Sie sich zu diesem Seminar anmelden, ist es auch verpflichtend, dass Sie an allen Vorträgen Ihrer Mitstudierenden teilnehmen (und insbesondere aktiv teilnehmen, wenn die Vortragenden dazu auffordern). Dazu werden bei unserem ersten Treffen Reaktionsthemen verteilt. Bei Ihrem Reaktionsthema sollen Sie am Ende des Vortrags eine inhaltliche Frage stellen. Das kann sowohl eine weiterführende Frage als auch eine Verständnisfrage sein.
Aus der Anzahl der Leistungspunkte für das Seminar können Sie sich errechnen, wie viel Arbeit von Ihnen erwartet wird.
3 Vortragsthemen
1. Potenzrechnung
Geben Sie eine kurze Wiederholung zur Potenzrechnung als wiederholte Multiplikation [wittmann, abschnitt 5.1]. Um das schnelle Wachstum von Potenzen zu verstehen, erklären Sie die Legende von der Erfindung des Schachspiels, [behrends, kapitel 6]. Finden Sie verschiedene Möglichkeiten die Anzahl der Reiskörner in dieser Geschichte zu veranschaulichen (z.B. Anzahl, Volumen, Preis, Nahrwert . . .).
2. Zinseszinsen
Behandeln Sie die Grundlagen von Zins und Zinseszins aus [ap, abschnitt 1.7.3]. Erklären Sie auch die Idee des effektiven Zinssatz aus [ap, abschnitt 3.7.4].
3. Exponenzialfunktionen
Geben Sie eine kurze Einführung in Exponentzialfunktionen nach [wittmann, abschnitt 8.1]. Zeigen Sie Graphen und Wertetabellen. Ein anschauliches Beispiel zur Einführung finden Sie bei [kapiert]. Im Beispiel wird das Taschengeld nur noch fürs zwei Jahre gezahlt. Was passiert, wenn es vier Jahre oder noch länger weiterwächst?
4. °Graphen von Exponentialfunktionen
Visualisieren Sie die Exponenzialfunktion in dem Sie Beispiele für den Graphen von ax geben. Benutzen Sie Geogebra geogebra.org oder ein ¨ähnliches Programm um ax für verschiedene Werte von ax zu zeichnen und zu vergleichen. Zoomen Sie weit hinein und weit hinaus. Vergleichen Sie mit Potenzfunktionen wie x2 oder x42.
Wenn Sie den Graphen der Exponenzialfunktion in der Diagonale spiegeln, erhalten Sie den Graphen der Umkehrfunktion, des Logarithmus, als Ausblick auf den nächsten Vortrag.
Zeigen Sie auch Graphen von empirischen Wachstumsprozessen, die exponentiell sind, z.B. das Mooresche Gesetz [wiki5], Bevölkerungswachstum [ourworld1] oder CO2-Konzentration. (Darstellungen im Internet benutzen oft eine logarithmische Skala, die in späteren Vorträgen ausführlich behandelt wird.) Natürliche Wachstumsprozess unterscheidet sich von den ‘reinen’ Graphen ax: Sie haben in der Regel kein fixes a und meist dauert das exponentielle Wachstum nicht unbegrenzt an.
5. * Logarithmen.
Geben Sie eine kurze Einführung in den Logarithmus, als Inverses der Exponenzialfunktion [wittmann, abschnitt 8.2]. Betrachten Sie mehrere einfache Beispiele und geben Sie die wichtigsten Rechenregeln an, insbesondere loga(bc) = c loga(b).
6. Logarithmische Anwendungen
Geben Sie Beispiele für logarithmische Skalen in der Naturwissenschaft und erklären Sie, weshalb diese nützlich sein können [desch, abschintt 4.4]. Auch in der Homöopathie werden logarithmische Skalen verwendet, stellen Sie Beispiel 2.9 aus [desch] vor.
Eine interessante Anwendung des Logarithmus auf exponenzielles Wachstum ist die 72er-Regel [wiki1], geben Sie eine kurze Beschreibung (ohne Herleitung) und ein paar Beispiele.
7. *oLogarithmische Darstellung.
Erklären Sie logarithmische Darstellung [wiki2], insbesondere, wie der Graph einer Exponenzialfunktion in logarithmischer Darstellung zu einer geraden Linie wird. Vor der Verbreitung von Computern benutzte man einfachlogarithmisches Papier [wiki3].
Betrachten Sie die Graphen auf [ourworld2]. Sie können dort z.B. bestätigte Coronafälle oder Corona-Todesfälle über den bisherigen Pandemieverlauf in vielen Ländern zeichnen lassen. Oben links haben Sie die Optionen "linear" und "log", wobei "log" einfach für jeden Zeitpunkt den Logarithmus des zugehörigen Wertes anzeigt. Welche Beobachtungen machen Sie, wenn Sie von linearer Darstellung zur logarithmischen Darstellung wechseln? Welche Vor- und Nachteile haben die Darstellungen.
8. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Erinnern Sie an die Definition von bedingten Wahrscheinlichkeiten und unabhängigen Ereignissen aus [skript, abschnitte 10.1 und 10.2]. Geben Sie Beispiele und ergänzen Sie gegebenenfalls aus [ks, abschnitt 2.9.1]
9. * Geburtstagsparadox
Stellen Sie dieses Paradox vor [behrends, kapitel 11]. Der Autor lässt einen Aspekt außen vor: Um Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren müssen Ereignisse unabhängig sein. Trifft das hier zu?
10. Simpson-Paradox
Stellen Sie das Simpson-Paradox anhand des Artikels [spektrum] vor. Können Sie weitere Beispiele finden?
11. * Satz von Bayes
Stellen Sie den Satz von Bayes vor, der es erlaubt bedingte Wahrscheinlichkeiten umzudrehen. Erinnern Sie an die Behandlung im letzten Semester [skript, abschnitt 10.3] und ergänzen gegebenenfalls aus [ks, abschnitt 2.9.3]. Beschreiben Sie ein Baumdiagram wie in [skript] und eine Vierfeldertafel wie auf Seite 203 in [ks]!
12. oSensitivität und Spezifizität
Stellen Sie Anwendungen des Satzes von Bayes in der Medizin vor [ks, beispiel 2.45]. Berechnen Sie dann selbst Beispiele und vergleichen die Bedeutung eines positiven PCR Tests und eines positiven Antigentests. Recherchieren Sie dafür die notwendigen Daten, zum Beispiel Sensitivität und Spezifizität von spezifischen Tests! Beachten Sie, dass Sie auch die zugrundeliegende Prävalenz herausfinden müssen, das heißt Ihr Ergebnis hängt vom Zeitpunkt und Ort ab!
13. Der Irrtum des Staatsanwalts
Bedingte Wahrscheinlichkeiten können leicht zu juristischen Fehlschlüssen führen. Dies wird in [ks, beispiel 2.44] demonstriert, weitere Details gibt [schrage]. Der berühmteste solche Fall ist möglicherweise die Geschichte von Sally Clark, ein gute Erklärung findet sich hier [plus] weitere Ausführungen gibt [dawid]. Berichten Sie auch den weiteren Verlauf des Falls [wiki4] (Quellen auf Englisch).
Sternchen * bezeichnen mathematisch anspruchsvollere Vortragsthemen. Kreise o bezeichnen Vortragsthemen für die Sie selbst Material recherchieren und/oder recherchieren müssen.
Sie haben bei der Ausgestaltung des Themas Freiräume: Sie können gerne andere und zusätzliche Quellen verwenden, sowohl um das Material zu verstehen, als auch um es Ihren Mitstudierenden anschaulich zu machen. Geben Sie solche Quellen bitte in Ihrer Ausarbeitung an.
Sie dürfen auch Teile des vorgeschlagenen Themas verkürzen oder sogar auslassen, um Raum für eigene Ideen zu haben, allerdings nur in Absprache mit mir!
4 Wichtige Hinweise
Da dieses Seminar in dieser Form zum ersten Mal stattfindet, kann es gut sein, dass bei einzelnen Vortragsthemen Schwierigkeiten auftreten, die ich nicht bedacht habe! Melden Sie sich, wenn Sie irgendwelche Fragen oder Probleme haben, oder wenn die Themenbeschreibung unklar ist!
Es gibt 13 Vorträge, der erste Termin ist für Vorstellungen, Übersicht und Organisatorisches vorgemerkt.
Die Themen werden kurz nach Ende der Anmeldungsphase am 22.9. verteilt, die ersten Themen möglicherweise früher. Bitte schreiben Sie mir bis zum 22.9. eine E-Mail mit wem Sie zusammenarbeiten und welche Themen Sie bearbeiten möchten! Geben Sie dafür am besten Ihre fünf liebsten Themen in Reihenfolge an. Wenn Sie spät antworten ist Ihre Themenauswahl möglicherweise eingeschränkt. Bei Fragen jede
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