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Lehrende: Prof. Dr. Jens Rademacher
Veranstaltungsart:
Vorlesung
Anzeige im Stundenplan:
WP-DGLDyn-V
Semesterwochenstunden:
4
Unterrichtssprache:
Deutsch
Min. | Max. Teilnehmerzahl:
- | -
Kommentare/ Inhalte:
Prozesse mit einer Zeitachse können als dynamisches System aufgefasst und mit den Methoden dieses breiten Gebietes behandelt werden. Die Theorie der dynamischen Systeme findet auch Anwendung in rein mathematischen Gebieten, etwa Zahlentheorie, und geht nahtlos über in praktisch jede Naturwissenschaft, besonders Physik.
Der Fokus in dieser Vorlesung liegt auf mathematisch rigoroser Theorie, aber wir befassen uns auch mit Anwendungsbeispielen und Softwareeinsatz. Ist die Dynamik regulär, stabil, periodisch, chaotisch? Wie hängt das Verhalten vom Parametern ab? Es werden grundlegende Konzepte der Theorie erarbeitet und die Erzeugung dynamischer Systeme aus Differentialgleichungen untersucht.
Die hier behandelten dynamischen Systeme sind abstrakt gesehen eine Abbildung zusammen mit einer Menge (Phasenraum) und eine Gruppenoperation als Zeitachse, die kontinunierlich (reelle Zahlen) oder diskret (ganze Zahlen) sein kann.
Im diskreten Fall sind wichtige Klassen Intervallabbildungen und iterierte Funktionensysteme, die auf Fraktale führen. Für den kontinuierlichen Fall wird Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen benötigt und aus der Perspektive dynamischer Systeme wiederholt und ausgebaut: Existenz und Eindeutigkeit (Sätze von Picard-Lindelöf und Peano), Stabilität (Sätze von Floquet und Liouville), planare Systeme (Satz von Poincaré-Bendixson), lokale Verzweigungen (fold, pitchfork, Hopf-Verzweigung), Hamilton-Systeme (nichtlineare Pendel). Dabei werden diverse Beispiele von Modellgleichungen aus Physik, Chemie und Biologie betrachtet, sowie numerische Simulationen zur Illustration verwendet. Am Ende wird das Lorenz-System als Beispiel für komplizierte, ``chaotische’’ Dynamik in ODE betrachtet.
Literatur:
- M. Denker: Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer, 2005.
- Jan Prüss, Mathias Wilke, Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme, Birkhäuser 2010
- B. Hasselblatt & A. Katok: A First Course in Dynamics. Cambridge University Press, 2003.
- A. Katok & B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995.
- V.I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer, Berlin, 1992.
- J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, New York, 1983.
- J. Hale, Ordinary Differential Equations, Krieger, Malabar, 1980.
- Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Robert L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems and an introduction to chaos. , Elsevier 2004.
- Clark Robinson, Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos, CRC Press, Boca Raton, 1995.
- Clark Robinson, Introduction to Dynamical Systems: Discrete and Continuous, Prentice Hall, New York, 2004.
Modulkürzel:
Ma-WP11/WiMa-MV2
Zusätzliche Hinweise zu Prüfungen:
¨Übungen:
- regelmäßige und aktive Teilnahme und Anwesenheit erforderlich
Übungsaufgaben:
- Abgabe der Lösungen in festen Gruppen (2 Personen)
Zulassungsvoraussetzungen zur Modulabschlussprüfung:
- regelmäßige und aktive Teilnahme
- zweimalige Präsentation der Lösung einer Aufgabe in der Übung
- 50% der Punkte der Hausaufgaben, jeweils Zettel 1-6 und 7-12
Modulabschlussprüfung:
- Termine: Klausur 27.7. 130-15h H1; Wdh. 14.9. 10-14h H2
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